3. Проблема поддержки решения сложных задач

Проблему, решение которой следует получить, можно описать кортежем , где  W - множество ситуаций, описываемых значениями неуправляемых переменных (фон проблемы); U - множество возможных решений, описываемых значениями управляемых переменных; Y- множество исходов, описываемых выходными (целевыми) переменными ИС; S - отношение между этими тремя факторами:

,                                             (2)

представляющее собой отображение сложной ИС, переменные которой разнотипные, т.е. измеряются как в количественных, так и в качественных (семантических) шкалах; P - множество стоящих целей (мотивов).

Процесс принятия решений можно представить отображением:

,

где D - множество имеющихся в наличии ресурсов (возможностей).

Качество решения определяется достигнутыми результатами

                                          (3)

где  - множество оценок вектора критериев , соответствующего цели  решения задачи z.

Решением задачи прогнозирования может быть, например, вектор состояния ИС  где q – временной интервал прогноза, отсчитываемый от текущего момента времени t,  или вектор целевых (выходных) переменных  Решением задачи управления ИС может быть вектор управляющих воздействий , подаваемых на входы ИС. Решением задачи диагностики неисправностей ИС может быть вектор, составленный из упорядоченного списка наиболее вероятных неисправностей    

При выработке решения учитываются ограничения параметрические:

                                  (4)

и функциональные:

,                             (5)

где  могут быть функционалами или функциями от u,  - ограничения нормативного вида, которые нельзя нарушать.

Ограничения (4) выделяют в r- мерном пространстве решений параллелепипед П. Ограничения (5) выделяют в П некоторое подмножество допустимых решений U.

Качество решения u характеризуется набором локальных критериев , значения которых стремятся получить экстремальными. Для определенности будем считать – минимальными, поэтому , где  - непрерывный интервал значений от 0 до максимально возможного для U значения i–го критерия . Задача оценки оптимального решения имеет вид:

                                    (6)

Естественно, что  оптимальное решение  задачи z заданного класса Z в условиях, когда закономерности (2) процессов ИС априори неизвестны, может быть получено только в случаях, когда неопределенность задачи сравнительно невелика, т.е. выбор решения не требует большого количества информации (в шенноновском смысле). Такие задачи можно назвать несложными неформализованными. Для поддержки решения таких задач могут успешно использоваться известные интеллектуальные системы: системы поддержки принятия решений, экспертные системы и системы ситуационного управления.

Среди сложных трудноформализуемых задач, решение которых требует существенно большего шенноновского количества информации, можно выделить класс задач, для которых лицо, принимающее решение, может указать ограничения на значения критериев , которые он считает вполне приемлемыми с различных точек зрения.

Это позволяет выделить в пространстве решений U некоторую область 

,                            (7)

включающую точку и содержащую решения , которые можно назвать рациональными. В этих случаях вместо задачи (6) можно решать задачу

.                                       (8)

Очевидно, что основной проблемой обеспечения рациональности получаемых  решений, является согласование  ошибок приближенной формализации задачи в пространстве решений. Для оценки размеров областей в произвольном пространстве вводится порог различимости решений

                                (9)

представляющий собой величину радиуса некоторой сферы , выделенной в пространстве критериев, в которой значение  либо невозможно оценить с большей точностью, либо такая оценка не имеет смысла, т.к. внутри этой области  значение  всегда колеблется без ущерба для ИС. Здесь r(×) – некоторая метрика в пространстве критериев такая, что, если , решение u1 предпочтительнее решения u2, при , решение u2 предпочтительнее решения u2, в остальных  случаях  они  равноценны.  Любые решения   считаются e-различимыми, если  и e-неразличимыми, если .

При этом на области U можно указать максимально возможное число Мe(U) различимых между собой решений  а на области  -  . В качестве меры максимально возможного разнообразия решений относительно ИС принимается e-мощность  множества U:  По своему смыслу эта величина представляет собой максимальное количество информации, которое может содержаться в случайном векторе uÎU, или максимальную энтропию задачи.

На области  максимально возможное разнообразие решений:  Эта величина является остаточной энтропией при принятии рационального решения , в то время как величина остаточной энтропии при принятии оптимального решения , .

В общем случае e-различимые решения принимаются не с равной вероятностью, а в соответствии с некоторым законом распределения, так что каждому ui для данной текущей ситуации x может быть поставлена в соответствие вероятность его принятия P(ui, w). Тогда энтропия решения определяется выражением

.

Соответственно,

.

Отсюда следует, что в соответствии с теорией информации для принятия  оптимального решения необходимо использовать количество информации не менее, чем , т.к. с учетом e-различимости решений, а для получения рационального решения –

,

где . Следовательно, . Последнее обстоятельство существенно упрощает задачу принятия рационального решения, т.к. для ее поддержки требуется меньшее в шенноновском смысле количество информации, чем для поддержки оптимального решения. Это позволяет расширить область применения СППР в сторону повышения сложности решаемых задач, чаще всего трудноформализуемых, т.к. позволяет использовать для ее поддержки не точные, а приближенные методы.

          В частности, из выражения (3) следует, что 

,

где энтропия Н(w) характеризует неопределенность ситуации, и - условные энтропии, характеризующие неопределенность  ИС  относительно используемой модели, - неопределенность цели относительно используемых критериев.

Поэтому область ошибок критерия   можно представить в виде сферы с центром 0 с радиусом

,                                           (10)

где - радиус n-мерной сферы с центром 0 – оболочки области ошибок  оценки вектора  в пространстве критериев; - радиус s-мерной сферы с центром [ew(w) + em(w, u)] – оболочки области  несоответствия критериев  заданной нечеткой цели. Если цель решения сформулирована четко (непосредственно в терминах критериев), то . Область ошибок приближенной модели

              (11)

представляет собой m-мерную сферу радиуса .

Очевидно, что цель получения рационального решения e-достижима, если область ошибок

.                        (12)

Отсюда следует, что для поддержки решения задачи (8) при выполнении условия (12) возможно использование не точных (полностью адекватных) моделей S, цели Р, алгоритмов , а приближенных моделей, соответствующих   S, P, T с некоторой допустимой ошибкой. При этом ограничение на ошибку модели ИС имеет вид:

.                             (13)

Модели, отвечающие условию (13), называются приближенными.

Таким образом, в зависимости от неопределенности задачи в текущей ситуации проблему принятия решения можно сформулировать так.

Если количество имеющейся информации о задаче таково, что неопределенность , то решение ее заключается в отыскании множества , отвечающего условию (8), в котором любой вектор   будет соответствовать рациональному решению. В полученном множестве  может быть выбрано такое решение , которое является наиболее предпочтительным с точки зрения ЛПР из всех векторов множества . Найденное таким образом решение будет квазиоптимальным.

Если неопределенность задачи удалось свести до значения , то выбор решения заключается в отыскании  из условия (6).

При нечеткой исходной информации или нечеткой модели, или нечетком алгоритме решения значения вектора   - нечеткие подмножества . На них можно ориентироваться  только в случае, если размытость подмножеств   не превосходит некоторого допустимого предела g.

Показатель размытости подмножества , определяемый по формулам

 ,

при четкой исходной информации wÎW, адекватной модели (em=0) исследуемой системы S и заданном алгоритме решения TZ(w,Æ) равен нулю, т.к. мощность Ml  множеств на интервале e равна единице, а .

 При нечеткой исходной информации показатель размытости  определяется выражением

где Ew - область нечеткости исходных данных .

При использовании приближенной модели М показатель размытости  определяется выражением

где EM – область нечеткости  модели М.

При нечетком соответствии вектора Q(y,u) цели решения Р показатель размытости определяется выражением

где EQ – область ошибок  критерия Q(y,u) относительно требуемой цели pÎP. При нечеткости алгоритма TZ(х,М) показатель размытости определяется выражением

где ET – область нечеткости алгоритма в пространстве критериев.

Алгоритм решения TZ(w,М) и приближенная модель обеспечивают требуемую g-размытость решения, если b<g.

С учетом  принятых  определений исходную проблему предложено разделить на четыре проблемы.

Проблема 1. Даны . Требуется найти из некоторого множества моделей WM, отвечающих условию (13), такую модель M, при которой обеспечивается допустимая  g-размытость значений критерия Q(y,u) и, соответственно, решения u заданной процедурой TZ(w,М).

Проблема 2.  Даны .  Требуется привлечь эвристические знания как для получения приближенной модели М, отвечающей условию (13), так и для непосредственной поддержки решения, которые обеспечат рациональность решения задачи zÎZ  с допустимой g-размытостью.

Проблема 3. Даны . Требуется сформулировать критерий Q(y,u), наилучшим образом соответствующий цели решения задачи z.

Проблема 4. Даны  . Требуется  найти  алгоритм TZ(w,М) из некоторого множества WT , обеспечивающий допустимую g-размытость решения, получаемого на основе модели М.

Для решения этих проблем необходимы методы анализа и синтеза  рациональных решений, в частности:

- извлечение знаний типа эвристических правил,  которые могут использоваться как для приближенной формализации задачи,  так  и  непосредственно для поддержки решений;

- выбор оптимального набора критериев,  наиболее адекватно характеризующих цель решения;

- выбор  наиболее эффективных алгоритмов не только из теоретических соображений,  но и исходя из опыта решений аналогичных задач,  накапливаемого в базе знаний СППР,  а также способа использования таких алгоритмов для решения данной задачи в конкретной ситуации.